En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variableindependiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado
Funciones monótonas.
Consideremos la gráfica de abajo en la
que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan
desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el
ciclista sube,
después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x<y entonces se tendrá que f(x)<f(y).
Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X
en los que la función "baja" con x<y y obtenemos sus asociados
del eje Y, se tiene que debido a la bajada f(x) tiene que ser mayor
que f(y).
Formalicemos los conceptos anteriores y tenemos:
Definición 1.-
Definición 1.-
Sea
un intervalo
y sea f una función con dominio I. Entonces:
un intervalo
y sea f una función con dominio I. Entonces:
-
Decimos que f es creciente en I si
x, y 
I, tales que x<y se tiene que f(x) 
f(y) -
Decimos que f es decreciente en I si x,
y I
tales que x<y se tiene que f(y) f(x)
Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.
-
Decimos que f es estrictamente creciente en I
si
x,y I
tales que x<y se tiene que f(x)<f(y)
-
Decimos que f es estrictamente decreciente en I si x,y I
tales que x<y se tiene que f(y)<f(x)
- Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona
2) Determinación de los intervalos de monotonía.
La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero (véase la gráfica del apartado 7).
Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.
Como consecuencia inmediata tenemos entonces el: Teorema 1.-
Sea f una función definida en un intervalo entonces:
a) Si f es creciente entonces 0f'.
b) Si f es decreciente entonces f'0.
Teorema 2.-
a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.
b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.
Dem.
a) Si f fuese estrictamente decreciente, por el teorema 1 se tendría que 0f'
y esto no puede ser. Si f fuese constante entonces f'=0,
que tampoco puede ser; por tanto la única opción posible
es que f sea estrictamente creciente.
b) Si f fuese creciente aplicando el teorema 1 se tendría que f'0
y esto es una contradicción; si f fuese constante entonces
f'=0 y como por hipótesis f'<0 la única
posibilidad que queda es que f sea estrictamente decreciente.
c.q.d.
Como consecuencia del teorema anterior tenemos que para determinar los intervalos en que la función es creciente o decreciente tenemos que estudiar el signo de la primera derivada. Para ello:
a) se obtiene la primera derivada de f(x) y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero
b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la primera derivada, los puntos donde la función no es derivable y los puntos de acumulación del dominio de definición de la función que no pertenecen al dominio
c) posteriormente se estudia el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la primera derivada es siempre el mismo)
d) en donde tenga signo positivo la función es estrictamente creciente y donde tenga signo negativo la función es estrictamente decreciente.
3) Máximos y mínimos relativos.
Sea ahora la gráfica de al lado, en ella se
pueden observar una serie de puntos donde nuestro ciclista pasa de "subir"
a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la
cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más
bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también
dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos
máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos
mínimos. Observar que en un máximo que no esté en
los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente
y que en los mínimos que no están en los extremos la función
tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.
Definición 2.-
Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:
a) un máximo relativo si
b) un máximo absoluto si
c) un mínimo relativo si
d) un mínimo absoluto si
5) Funciones cóncavas.
Veamos ahora cómo determinar el sentido de la curvatura de una
función, para ello definamos los siguientes conceptos:
Definición 3.-
Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa)
en un punto a si la gráfica de la función se queda
en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la
gráfica en (a,f(a)), es decir, si 
es
la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se
tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a
si
.
Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo.
Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si
es
la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se
tiene que f es cóncava hacia abajo en el punto a si 
.
Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.
6) Determinación de los intervalos de concavidad.
Veamos cómo determinar fácilmente el
sentido de la concavidad de una función. Abajo tenemos la gráfica
de una función cóncava hacia arriba en la que se han trazado
distintas tangentes a esa gráfica.
Si llamamos a esos ángulos a
,b ,g ,d
, se tiene que 01<d
<g <901<a
<b <1801,
y que a<b<c<d y por tanto sus tangentes estarían
ordenadas como sigue tg a <tg b
<tg d <tg l
y por tanto las derivadas en esos puntos, al ser las pendientes de
las rectas tangentes, verifican que f'(a)<f'(b)<f'(c)<f'(d),
es decir la derivada primera tiene que ser creciente, por tanto si f
es cóncava hacia arriba entonces f' es creciente y utilizando
el teorema 1 se concluye que 0 f''.
Con un razonamiento análogo para una función cóncava
hacia abajo (véase la gráfica de la derecha y realízalo
como ejercicio) se obtiene el:
Teorema 5.-
a) Si f es cóncava hacia arriba entonces 0f''.
b) Si f es cóncava hacia abajo entonces f''0.
Teorema 6.-
Sea f una función entonces:
a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.
b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.
Dem.
a) Sea f''>0; entonces f es o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si fuese cóncava hacia abajo se tendría por el teorema 5 que f''0
y esto es una contradicción, por tanto la única posibilidad
es que sea cóncava hacia arriba.
b) Se obtiene con un razonamiento análogo al del apartado a) (realizarlo como ejercicio). c.q.d.
Para determinar los intervalos de concavidad se realizan los siguientes pasos:
a) se obtiene la segunda derivada de f y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero
b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la segunda derivada, los puntos de acumulación del dominio que no sean del dominio y los puntos donde no exista la segunda derivada
c) posteriormente se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la segunda derivada es siempre el mismo)
d) en donde tenga signo positivo la función es cóncava hacia arriba y donde tenga signo negativo la función es cóncava hacia abajo.
Puntos de inflexión.
Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.
Para determinar los puntos de inflexión hay dos métodos:
A) Se determinan los intervalos de concavidad, si
en uno de esos intervalos la función es cóncava hacia arriba
o hacia abajo y en el siguiente cambia el sentido de la concavidad, siendo
el extremo del intervalo un punto del dominio de definición en el
que la función es continua, tendremos un punto de inflexión.
Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.
B) Teorema 7.-
Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión.
Dem.
Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el quex
(a-x ,a+x ) se
verifique que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando
el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente. Como f''(a)=0
entonces x
(a-x ,a) f''(x)>0 (puesto que x<a)
y por tanto f es cóncava hacia arriba; si x (a,a+x
) se tiene que x>a y como f''(a)=0 y f'' decreciente
entonces f''(x)<0 y por tanto f es cóncava hacia
abajo. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que f cambia
en a de concavidad y por tanto tiene en a un punto de inflexión.
El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.
Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así sucesivamente.
La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero (véase la gráfica del apartado 7).
Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.
Como consecuencia inmediata tenemos entonces el: Teorema 1.-
Sea f una función definida en un intervalo entonces:
a) Si f es creciente entonces 0
f'.
b) Si f es decreciente entonces f'
0.
Teorema 2.-
a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.
b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.
Dem.
a) Si f fuese estrictamente decreciente, por el teorema 1 se tendría que 0
f'
y esto no puede ser. Si f fuese constante entonces f'=0,
que tampoco puede ser; por tanto la única opción posible
es que f sea estrictamente creciente.
b) Si f fuese creciente aplicando el teorema 1 se tendría que f'
0
y esto es una contradicción; si f fuese constante entonces
f'=0 y como por hipótesis f'<0 la única
posibilidad que queda es que f sea estrictamente decreciente.
c.q.d.
Como consecuencia del teorema anterior tenemos que para determinar los intervalos en que la función es creciente o decreciente tenemos que estudiar el signo de la primera derivada. Para ello:
a) se obtiene la primera derivada de f(x) y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero
b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la primera derivada, los puntos donde la función no es derivable y los puntos de acumulación del dominio de definición de la función que no pertenecen al dominio
c) posteriormente se estudia el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la primera derivada es siempre el mismo)
d) en donde tenga signo positivo la función es estrictamente creciente y donde tenga signo negativo la función es estrictamente decreciente.
Definición 2.-
Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:
a) un máximo relativo si
b) un máximo absoluto si
c) un mínimo relativo si
d) un mínimo absoluto si
4) Determinación de máximos y mínimos.
Problemas de optimización.
Veamos qué ocurre con la recta tangente a
la gráfica de una función tanto en los máximos relativos
como en los mínimos relativos, siempre tiene que ser paralela al
eje X, y por tanto el ángulo que forma con dicho eje tiene que ser
siempre cero. Como la derivada de una función en un punto es la
pendiente de la recta tangente en dicho punto, en los extremos relativos
la derivada de la función tiene que ser siempre cero.
Teorema 3.-
Sea a un punto donde f es derivable,
entonces, si a es un extremo relativo se tiene que f'(a)=0.
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando el teorema 1 se tiene que f'(a)=0.
Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo (véase la gráfica del apartado 7)
Para determinar los máximos y mínimos relativos existen dos métodos:
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando el teorema 1 se tiene que f'(a)=0.
Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo (véase la gráfica del apartado 7)
Para determinar los máximos y mínimos relativos existen dos métodos:
A) Se obtienen los intervalos de monotonía
y se estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Si en
uno de esos intervalos la función es creciente y en el siguiente
decreciente, siendo el extremo común de los intervalos un punto
del dominio de definición en el que la función es continua,
tenemos un máximo; si la función es decreciente y en el siguiente
intervalo es creciente, siendo el extremo común del intervalo un
punto del dominio de definición en el que la función es continua,
tenemos un mínimo.
Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
Si nos fijamos en el ejemplo del apartado 2 se tendría entonces que en (a,f(a)) y en (c,f(c)) hay un mínimo y que en (d,f(d)) hay un máximo.
Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
Si nos fijamos en el ejemplo del apartado 2 se tendría entonces que en (a,f(a)) y en (c,f(c)) hay un mínimo y que en (d,f(d)) hay un máximo.
B) El segundo método se basa en el hecho siguiente:
supongamos que f'(a)=0 y que f''(a)<0, entonces por el
teorema 2 se tiene que f' es estrictamente decreciente en un intervalo
centrado en a y por tanto si x es punto de ese intervalo
menor que a, como f'(a)=0 se tendrá que f'(x)>f'(a)=0
y por tanto la función para puntos menores que a es creciente;
por otro lado si x es un punto de ese intervalo con x mayor
que a, como f'(a)=0 y f'es decreciente se tiene que
f'(x)<f'(a)=0 y por tanto para puntos mayores que a la
función f es decreciente. Uniendo los dos resultados anteriores
se tiene que en a la función tiene que tener un máximo.
Razonando de forma similar en el caso de que f'(a)=0 y f''(a)>0
se tiene que en a hay un mínimo (Realizar el razonamiento
como ejercicio). Se tiene entonces el:
Teorema 4.-
i) Sea a un punto donde f es derivable
con f'(a)=0 y f''(a)<0, entonces en a hay un máximo
relativo.
ii) Sea a un punto donde f es derivable
con f'(a)=0 y f''(a)>0, entonces en a hay un mínimo
relativo.
Por tanto, para determinar los extremos relativos
se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado
tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo
un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos
que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto
de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos
que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la
segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.
En general en los problemas de optimización
(problemas en los que se trata de hallar los máximos o mínimos
de una función, los veremos sólo con ejercicios) se utiliza
el método B) mientras que en la representación gráfica
de funciones se utiliza el A).
Definición 3.-
es
la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se
tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a
si
.
Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo.
Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si
es
la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se
tiene que f es cóncava hacia abajo en el punto a si
.
Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.
f''.
Con un razonamiento análogo para una función cóncava
hacia abajo (véase la gráfica de la derecha y realízalo
como ejercicio) se obtiene el:
Teorema 5.-
a) Si f es cóncava hacia arriba entonces 0
f''.
b) Si f es cóncava hacia abajo entonces f''
0.
Teorema 6.-
Sea f una función entonces:
a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.
b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.
Dem.
a) Sea f''>0; entonces f es o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si fuese cóncava hacia abajo se tendría por el teorema 5 que f''
0
y esto es una contradicción, por tanto la única posibilidad
es que sea cóncava hacia arriba.
b) Se obtiene con un razonamiento análogo al del apartado a) (realizarlo como ejercicio). c.q.d.
Para determinar los intervalos de concavidad se realizan los siguientes pasos:
a) se obtiene la segunda derivada de f y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero
b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la segunda derivada, los puntos de acumulación del dominio que no sean del dominio y los puntos donde no exista la segunda derivada
c) posteriormente se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la segunda derivada es siempre el mismo)
d) en donde tenga signo positivo la función es cóncava hacia arriba y donde tenga signo negativo la función es cóncava hacia abajo.
Puntos de inflexión.
Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la segunda derivada tiene que ser cero.
Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.
B) Teorema 7.-
Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene en (a,f(a)) un punto de inflexión.
Dem.
Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el que
x
(a-x ,a+x ) se
verifique que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando
el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente. Como f''(a)=0
entonces x
(a-x ,a) f''(x)>0 (puesto que x<a)
y por tanto f es cóncava hacia arriba; si x (a,a+x
) se tiene que x>a y como f''(a)=0 y f'' decreciente
entonces f''(x)<0 y por tanto f es cóncava hacia
abajo. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que f cambia
en a de concavidad y por tanto tiene en a un punto de inflexión.
El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.
Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así sucesivamente.
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